12 MATEMÁTICAS Y POMPAS DE JABÓN. – Perspectivas desde El Palacio

¡MATEMÁTICAS HASTA EN LAS POMPAS!

Centro: I.E.S. ARENAS DE SAN PEDRO

Departamento: MATEMÁTICAS.

Profesores responsables: Ana Yolanda Miranda López.

Alumnado: Inés Gómez Díaz, Mirian Gómez Martín, Rocío Guío Igual, Carlos Tiemblo Herrero 2º BACHILLERATO A

INTRODUCCIÓN
Actualmente estamos viviendo tiempos muy difíciles, los efectos del cambio climático están aumentando considerablemente y debemos frenar la emisión de gases y sustancias contaminantes hacia la atmósfera. Con la llegada de la pandemia, nuestra vida se paralizó y durante el confinamiento que vivimos el pasado año vimos como la naturaleza resurgía y cómo la nube de contaminación que rodeaba a las grandes ciudades disminuyó notablemente. Por primera vez en mucho tiempo fuimos conscientes de cómo sería el mundo si todo se paralizase y cómo la naturaleza pudo respirar tranquila sin la interferencia del ser humano. La naturaleza es muy sabia y poderosa y una y otra vez nos ha demostrado que es inmensamente superior a los seres humanos, haciéndonos ver que somos una mínima parte del puzle que compone el mundo. Además, la pandemia ha limitado mucho nuestras libertades y esto nos ha hecho reflexionar a muchas personas sobre hasta qué punto somos libres. Las pompas, son libres y muy frágiles, al igual que nosotros. Estas despiertan numerosos sentimientos distintos en cada persona, tienen el poder de transportarnos a nuestra infancia, de hacernos olvidar todos los pensamientos y de recordar qué es ser libre, pero también nos hacen ver como con un insignificante roce hace que todo explote y se rompa. En este trabajo trataremos de relacionar nuestros conocimientos matemáticos y biológicos con la formación de las pompas.

SUPERFICIE MINIMAL

Las pompas de jabón también son una ilustración física del problema de las superficies mínimas, un problema matemático complejo. Por ejemplo, aunque se sabe desde 1884 que una pompa de jabón esférica es la forma de encerrar un cierto volumen de aire con la menor área. Las películas de jabón buscan minimizar su área de superficie, esto es, minimizar su energía de superficie. La forma óptima para una pompa aislada es una esfera. Los grupos de muchas burbujas en una espuma tienen formas mucho más complicadas Todo esto tiene relación con la estructura de Weairephelan, siendo la estructura de Weaire-Phelan una estructura tridimensional compleja, que da la mejor solución al problema de la estructura de Kelvin.

Esta estructura consistía en preguntarse cómo podrían particionarse el espacio en celdas de igual volumen con el área más pequeña de contacto entre ellas. La conjetura de Kelvin es que la estructura de Kelvin resuelve el problema de Kelvin: la espuma del panal cúbico bitruncado es la espuma más eficaz. La conjetura de Kelvin fue aceptada y durante más de 100 años no se pudieron encontrar contra-ejemplos, hasta que fue descubierta la estructura de Weaire-Phelan anteriormente mencionado.

Detrás de las formas que puede tomar una película de jabón nos encontramos con una disciplina bastante compleja de la geometría: las superficies minimales. Desde principios del siglo XIX se viene estudiando el problema de qué pompa de jabón tiene por borde una curva dada. A este problema se le conoce hoy en día como «Problema de Plateau» en honor al famoso físico belga Joseph-Antoine Ferdinand Plateau (1801-1883). Los resultados de Plateau fueron puramente experimentales, y hasta más de un siglo y medio después, hacia 1970, no se consiguieron probar sus conjeturas. Algunos de los resultados más importantes son:
 Una pompa de jabón tiene área menor que cualquier otra superficie «cercana» a ella (de ahí el nombre superficie minimal).
 Si varias películas de jabón se cortan, lo harán siempre de tres en tres, formando ángulos de 120°.

Si miramos a nuestro alrededor descubrimos asombrosas configuraciones naturales. Es como si la naturaleza supiese matemáticas. “La naturaleza opera siempre con la máxima economía”.

GEOMETRÍA EN SUPERFICIES MÍNIMAS CON PELÍCULAS DE JABÓN
Las películas de jabón son estructuras compuestas por una capa de agua y de jabón, que se forman gracias a una de las propiedades del agua que es la tensión superficial. Lo peculiar de estas películas jabonosas es su tendencia a conseguir la configuración mínima de las superficies.
Las superficies mínimas fueron objeto de estudio del matemático Joseph-Louis de Lagrange, y, posteriormentedel físico Joseph Plateau,quien fue uno de los primeros en experimentar las superficies mínimas con películas de jabón. Durante sus experimentos se dio cuenta de que al sumergir una estructura cerrada en una disolución jabonosa siempre se formaba una película de jabón, con lo cual en 1873 planteó el problema que lleva su nombre y que formula que para cada curva cerrada se puede hallar la superficie con área mínima. Al realizar diferentesexperimentos con estas películas de jabónobtendremosdiversos resultados en función de cuál sea el que realizamos. Lo curioso es que, en todos ellos, ya sean con figuras tridimensionales o con aristas entre dos placas paralelas, se cumplirá la propiedad del punto de Fermat.

El punto de Fermat es un punto cuya suma de distancias a los vértices de un triángulo es mínima. Los segmentos que unen el punto de Fermat con los vértices del triángulo forman siempre entre sí ángulos de 120º.

Se dibuja un triángulo ABC en el que el ángulo mayor sea menor de 120 grados y sobre cada uno de los lados de este, construimos un triángulo equilátero. Los segmentos que unen A con su vértice opuesto, B con su vértice opuesto y C con su vértice opuesto se cortan en el punto de Fermat

Esta y otras observaciones experimentales llevaron a Plateau a postular tres leyes que le permitieron describir la forma y la configuración de las películas de jabón. En este caso nos centraremos en explicar la primera ley que postuló.

Primera ley: Si varias películas de jabón se cortan, lo hacen de tres en tres a lo largo de una línea y formando entre sí ángulos de 120 grados.

Como regla general, si los tres puntos no forman un triángulo equilátero, el segmento vertical que une las tres películas rectangulares se encuentra desplazado hacia el vértice del triángulo correspondiente al mayor ángulo, y en el caso de que el ángulo correspondiente a uno de los vértices sea igual o mayor que 120º la unión de las tres películas sufre una degeneración y se confunde con el tornillo situado en ese vértice como vemos a continuación.

PORQUÉ LAS PELICULAS JABONOSAS RESUELVEN PROBLEMAS MATEMÁTICOS DIFÍCILES.

LEYES DE PLATEAU
El problema de Plateau consiste en determinar la existencia de una superficie minimal acotada por un contorno dado. Joseph Antoine Ferdinand Plateau se percató de que todo contorno formado por un lambre cerrado de cualquier forma geométrica que no sea demasiado grande, después de ser sumergido en una solución acuosa, limita al menos una película de jabón. Planteó un problema que formula que para cada curva cerrada se puede hallar la superficie con área mínima. Al realizar experimentos con placas paralelas y diferentes aristas verticales se observan películas de jabón rectangulares que se unen para forman caminos entre dichas aristas; al proyectar rectas a un plano superior se determina el recorrido mínimo para unir los vértices de un polígono; este recorrido tiene la propiedad del punto de Fermat.

Primera ley: Si varias láminas de jabón se cortan, lo hacen de tres en tres a lo largo de una línea y formando entre sí ángulos de 120 grados.
Segunda ley: Cuatro de las líneas rectas, todas formadas por el corte de tres superficies, se cortan en un punto y el ángulo formado por cada par de ellas es de 109 grados.
Tercera ley: Una película de jabón que pueda moverse libremente sobre una superficie, se interseca con ella formando un ángulo de 90 grados

1er Experimento:

Láminas jabonosas que se cortan en aristas y aristas que se cortan en un punto.

Qué hicimos:

1. En una de las estructuras de metacrilato con pajitas de plástico se pone el jabón y formamos burbujas. Las burbujas tocarán a las paredes de metacrilato formando circunferencias y entre sí tocándose formando siempre ángulos iguales.

2. Con una pajita metes una burbuja jabonosa dentro y se forma un cilindro limitado por las dos láminas de metacrilato y las tres varillas. A continuación, se va extrayendo el aire de la burbuja hasta que el cilindro se transforme en tres láminas jabonosas perpendiculares a las placas de metacrilato y formen ángulos de 90º con ella. Pero, las láminas entre sí forman una Y. Esta configuración es estable lo que equivale a un camino de mínimas distancias.

3. Formamos muchas burbujas entre las dos placas de metacrilato para ver si se colocan formando una estructura hexagonal.

4. Formamos conjuntos de dos pompas libres. Se tocan con ángulos de 120º. Si una es más grande que la otra el aire pasa de la pequeña a la grande.

Observaciones y resultados:

Llegamos a la solución del problema de Steiner de conexiones mínimas con las pompas.

Los sistemas de varias pompas de jabón se sitúan de manera que las aristas de líquido forman ángulos de 90º y de 120º. – Al compactar esferas la disposición óptima es la hexagonal.
Al hacer dos pompas, una sobre otra, se observa que se juntan formando ángulos de 120º. Si una es más grande que la otra la pared común se va hacia la de mayor tamaño intentando adoptar la menor área posible. Si son de igual tamaño la pared es plana. Al tener la más pequeña mayor presión interna que la grande le lleva a empujar a la otra para minimizar la energía.
Al juntar más de dos pompas sólo se tocan tres paredes en una misma línea y están separadas por ángulos de 120°.
Si juntamos dos pompas una mayor que la otra el aire pasa de la de menor volumen a la de mayor volumen

2º Experimento:

Qué hicimos:

Sumergimos las curvas cerradas en la disolución. Al sacarlas se forma una película jabonosa. No siempre de la misma forma, pero todas tendían hacia una que era la más estable. En todas ellas las superficies jabonosas se interceptan en una o varias aristas.
Sumergimos las estructuras poliédricas en la disolución jabonosa. Para una misma estructura se obtienen varias configuraciones de superficies distintas formadas por películas planas hacia el interior del sólido. Sacudiéndolas un poco o soplando se pasaba de unas a otras quedando, al final, la más estable. Cada par de superficies forman una línea de contacto en su interior y cada cuatro aristas se cortan en un punto.
Las superficies que se obtenían formaban nuevamente ángulos diedros.

Observaciones y resultados:

En la estructura tetraédrica se obtienen seis láminas planas que se cortan en tres aristas y estas en un punto central. El ángulo entre cada par de láminas es de 120º y entre cada par de aristas es de 109º, cómo postuló Plateau

En el cubo se obtienen varias situaciones de láminas en equilibrio.

La primera: de cada arista sale una superficie hacia el interior del cubo. Las 8 láminas se juntan en una línea común.

La segunda: las 6 aristas se tocan en un punto común

La tercera: las aristas forman un nuevo cubo en el interior.

3º Experimento:

Caminos mínimos. Problema de Steiner y punto de Fermat.

1. Introducir las estructuras de metacrilato en la disolución jabonosa:

Al sumergir y extraer la estructura transparente de dos pajitas, sale una lámina entre los dos pasadores. El camino más corto entre dos puntos la línea recta.

Al sumergir y extraer la estructura transparente de tres pajitas se observa que el jabón forma una figura compuesta por tres superficies que unen cada clavo con un segmento central. Se obtiene un triángulo con tres segmentos internos que unen cada vértice con un punto. Este punto, es el punto de Fermat y cumple la propiedad de que la suma de distancias a los tres vértices es mínima. Se forman además ángulos de 120º. Nuevamente los ángulos libres son de 120º. Se trata de la manera en la que al unir los 4 puntos tiene menor longitud.

**Problema de Stainer y Punto de Fermat**

Con la estructura con seis pajitas formando un hexágono regular, como los ángulos interiores son ya de 120º el jabón formará el hexágono exterior

CONCLUSIONES:

La tensión superficial es la causante de la forma esférica de los líquidos
Una burbuja en el aire siempre es esférica.
Las pompas esféricas son una prueba del teorema que dice: de todos los sólidos de volumen dado, la esfera tiene una superficie de área mínima.
Cuando las pompas están libres intersectan perpendicularmente con las superficies que las limitan o las que las soportan.
Cuando unimos dos pompas de jabón de distinto tamaño el aire pasa de la más pequeña a la más grande.
Las superficies minimales son aquellas de energía potencial mínima. Son las más estables y se pueden materializar en películas de jabón.
Las películas más estables son las planas.
Las películas de jabón que se forman en las estructuras cerradas se colocan de manera que la tensión o fuerza sobre todos los puntos de la estructura sean iguales.
En equilibrio estable sobre una arista pueden concurrir únicamente tres superficies que se intersecan en ángulos de 120º.
En las estructuras tridimensionales cuando las láminas jabonosas hacen mínima el área del sistema, las láminas no están libres ya que se apoyan en los contornos de la figura. Cada tres se cortan en una arista que será una línea. Cada par de estas láminas forman al cortarse ángulos de 120º.
En un punto solo pueden concurrir 4 aristas que se forman por la intersección de tres superficies. En dicho punto, el ángulo que forman cada par de aristas es de 109º

TENDENCIA DE LOS LÍQUIDOS Y LA NATURALEZA DE ADOPTAR FIGURAS GEOMÉTRICAS
Si miramos a nuestro alrededor descubriremos numerosas figuras geométricas en la naturaleza, como si esta supiese matemáticas. Vemos simetrías en las formas, por ejemplo, si nos acercamos a un panal de abejas sus celdillas tienen sección hexagonal, también las alas de algunos insectos, como las libélulas presentan un enrejado, igualmente, casi hexagonal. Esto se debe a que en este contexto la naturaleza trata de aprovechar el mayor espacio posible, y si en vez de hexágonos fuesen esferas se quedarían huecos desaprovechados entre esfera y esfera. En cuanto a las plantas, las semillas de los girasoles se distribuyen formando espirales que también vamos a encontrar en el crecimiento de los caracoles. Analizando esto, observamos que además de los hexágonos, la espiral, también ha sido elegida por la naturaleza como figura.

Por su parte, los planetas son esféricos, así como también lo son las gotas de agua y las pompas de jabón. ¿Por qué esto es así? ¿Qué propiedades tienen estas formas para que la naturaleza las haya elegido? Nosotros en nuestro trabajo nos centraremos en la forma que adoptan las pompas de jabón, es decir la forma esférica. Geométricamente hablando y como ya hemos mencionado anteriormente, los hexágonos rellenan el plano sin dejar huecos y las espirales ahorran espacio, por ello han sido elegidos por parte de la naturaleza, por su parte, la circunferencia y la esfera tienen la máxima simetría y cumplen los principios de optimización.

Para poder explicar el por qué la esfera ha sido escogida debemos basarnos en la tensión superficial. Este concepto es una propiedad del agua, que consiste en que las moléculas de la superficie solo están sometidas a la fuerza de adhesión de las moléculas de agua del interior del líquido. La tensión superficial del agua provee la necesaria tensión de pared para la formación de burbujas de agua. La tendencia a minimizar la tensión de pared, lleva a las burbujas a su formación esférica.

De acuerdo con la ley de Laplace, que dice que: cuanto mayor sea el radio, mayor es la tensión de la pared para soportar una determinada presión interna del fluido. La tensión superficial es la responsable de la forma de gotas en los líquidos, ya que hace que la superficie libre de un líquido se comporte como una fina membrana elástica. Aunque se deforman fácilmente, las gotas de agua tienden a tener forma esférica por las fuerzas de cohesión sobre la capa superficial. La diferencia de presión entre el interior y el exterior de la burbuja depende de la tensión superficial y el radio de la burbuja. La relación se puede obtener mediante la visualización de la burbuja como dos hemisferios, y observando que la presión interna que tiende a empujar para separar los hemisferios, se ve contrarrestada por la tensión superficial alrededor de toda la circunferencia del círculo.

Para comprender mejor el concepto de tensión superficial realizaremos algunos experimentos:

LA FORMA ESFÉRICA ES LA MÁS ESTABLE

MATERIALES
o ALCOHOL
o PIPETA
o ACEITE
o UN VASO

PROCEDIMIENTO

El primer paso es añadir en el vaso agua y añadimos poco a poco la misma cantidad de alcohol, después con la pipeta cogemos el aceite y con cuidado lo añadimos a la mezcla formando así una serie de pompas, las cuales en un principio se situarán en el centro de la disolución.

OBSERVACIONES: Se forma una gota esférica de aceite, con esto vemos cómo actúa la tensión superficial formando las esferas.

VALORACIÓN PERSONAL

Nos ha parecido muy interesante la capacidad de las pompas de buscar siempre el máximo equilibrio y la mínima superficie, además nos ha parecido muy curioso que en la naturaleza haya representaciones sobre esto, ya que podemos observar que la naturaleza sabe aprovechar y utilizar la mejor disposición para aprovechar toda la superficie. Otra cosa que nos ha llamado la atención es que gracias a las pompas podamos saber cómo unir distintos puntos de la manera más eficiente posible, podemos tomarlo como si fuéramos a unir 4 o más ciudades con una carretera de la mejor forma más barata para mantenerlas todas conectadas.

WEBGRAFIA

http://verso.mat.uam.es/
https://es.m.wikipedia.org/
https://www.madrimasd.org/feriamadridcienciainnovacion
http://funes.uniandes.edu.co/8744/1/Pacheco2015Ensenanza.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_Fermat
https://www.geogebra.org/m/ytqb6Apg#:~:text=Si%20en%20un%20tri%C3%A1ngulo%20todos,externamente%20sobre%20el%20lado%20opuesto.
https://imaginary.org/sites/default/files/superficies_minimas.pdf
http://www.juanbragado.es/ficheros/Geogebra/Punto%20de%20Fermat.%20Recta%20de%20Simson.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/fluidos/tension/tension.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/surten2.html#:~:text=La%20tensi%C3%B3n%20superficial%20del%20agua,formaci%C3%B3n%20de%20burbujas%20de%20agua.&text=La%20diferencia%20de%20presi%C3%B3n%20entre,el%20radio%20de%20la%20burbuja.
https://www.ucm.es/data/cont/docs/76-2013-06-11-02_Surface_tension_and_soap_films.pdf
https://verso.mat.uam.es/web/index.php/documentos/category/20-premio-i-2006-2007?download=201:superficies-minimas
https://core.ac.uk/download/pdf/83544299.pdf
https://www.icmat.es/convocatorias/Intro-SO/2018/Manzano1.pdf
https://verso.mat.uam.es/~eugenio.hernandez/Estalmat-Materiales/VicenteMunoz/pompas.pdf

Matemáticas hasta en las Pompas

Matemáticas hasta en las Pompas

LA MAGIA DEL JABÓN

Centro: I.E.S. ARENAS DE SAN PEDRO

Departamento: MATEMÁTICAS

Profesor responsable: Ana Yolanda Miranda López

Alumnos: Judit M. Orfilia Calderón Adrián Marcos Muñoz. 2º BACHILLERATO

INTRODUCCIÓN

Mirando a nuestro alrededor, nos damos cuenta de que todo presenta figuras geométricas diversas, desde los panales de abejas que presentan una forma hexagonal (los hexágonos rellenan el plano sin dejar huecos), la disposición de las semillas de los girasoles situadas en forma de espiral (las espirales ahorran mucho espacio en el plano) hasta las gotas de agua que presentan una circunferencia (que presentan la simetría perfecta). ¿Es que acaso la naturaleza es tan sabia que hasta tiene conocimientos matemáticos? Diferentes matemáticos han observado a lo largo de la historia a la naturaleza para poder dar solución a los problemas de superficies mínimas que se nos han planteado, es decir, observar la naturaleza que minimiza lo máximo posible la superficie equivalente a resolver una ecuación diferencial parcial asociada (ecuación de Lagrange),los griegos fueron los primeros en asegurar que la Tierra era esférica, pues esta era la forma perfecta. Primeramente, Pitágoras (582-507 a.C) que afirmaba que la estructura del universo se basaba en la aritmética y en la geometría. Platón (427-347 a.C), a pesar de ser mucho más reconocido por su pensamiento filosófico, manifestaba una fascinación por la forma esférica como la figura perfecta, consideraba que el mundo estaba construido de forma esférica ya que así la distancia entre todos los puntos geográficos y el centro era la misma. Era lo que ellos se refirieron como la más perfecta de todas las curvas, nombrada círculo (lo que ellos planteaban era la misma geometría que las pompas de jabón). Más adelante a lo largo de los años con adelantos como el introducido por Newton con su ideal del cálculo diferencial e integral, LaGrange con su cálculo de variables y sobre todo el estudio de Plateu (del que más tarde hablaremos) nos encontramos que las pompas de jabón son la perfecta solución matemática ante cualquier problema de superficies.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Estructura molecular de las películas de jabón

Para dar a conocer el tema de la geometría de burbujas comenzaremos por definir que es una burbuja de jabón. Una burbuja de jabón es una capa de líquido fino llamado películas de jabón y agua, las cuales en su forma original son esferas huecas con superficies iridiscentes que llaman la atención de grandes y chicos como objeto de juego sin saber la magia que esconden para enseñar matemáticas sobre todo lo relacionado con la geometría.

Para entender el comportamiento de las películas de jabón es necesario hacer un análisis a nivel molecular. La molécula de agua tiene una geometría muy especial. Los átomos de hidrógeno están desplazados a un lado del átomo de oxígeno con un ángulo fijo. Estageometría, junto con las cargas eléctricas, hacen del agua una sustancia altamente polar, esto significa que sus moléculas tienen las cargas opuestas muy separadas, lo que les permite agregarse con facilidad.

Las burbujas de jabón tienen una estructura que consisten en agua atrapada en dos capas de moléculas tenso-activas que tienen cabezas hidrófilas y colas hidrófobas las cuales cumplen la función de mantener intacta la capa fina de la burbuja.

Las burbujas o pompas de jabón se mantienen estables porque en su capa de líquido existe tensión superficial, que hace de una hoja elástica que debe estar acompañada de un tenso activo en este caso el jabón líquido que es el encargado de quitar peso al agua y estabilizar la pompa, al mismo tiempo evitando una evaporación de la misma, la tensión que se crea entre el agua y el jabón hacen que la burbuja se forme de manera esférica ya que es menor el área superficial usada.

Tensión superficial causada por la fuerza de cohesión

La tensión superficial es la resultante de las fuerzas que actúan sobre las moléculas de la superficie de un líquido. Es una fuerza perpendicular a la superficie y dirigida hacia el interior del líquido. La forma esférica de las gotas puede ser explicada a través de las fuerzas existentes en todos los líquidos, las de cohesión. Pero las moléculas que están en la superficie solo son atraídas por las que tiene debajo y las de los lados. La resultante de estas fuerzas actúa hacia el interior del líquido.

La teoría que sustentan las pompas o burbuja de jabón se llama “teoría de las superficies mínimas” que se constituye a través del mínimo espacio usado en la superficie, denominadas áreas en las cuales se pueden apreciar teniendo en cuenta el marco con el que se va a trabajar la pompa de jabón, desde estos simples experimentos podemos familiarizarnos con las propiedades básicas de las mismas.

Existen fenómenos complejos en la naturaleza que el hombre aún no puede conocer mediante sus sentidos, por ejemplo, el espacio, debido a este problema se utilizaron modelos sencillos con películas de jabón que nos ayudasen a comprender el comportamiento de las soluciones jabonosas en diferentes superficies. ¿Qué tienen de particular las burbujas o las láminas de jabón?, la solución jabonosa en ciertas concentraciones produce un material delgado suficientemente flexible y resistente que le permite adquirir distintas formas, de acuerdo a los bordes que la limitan, teniendo en cuenta que al estar formada la película de jabón y al estirarla el líquido se expande y permite que las moléculas de agua vuelvan a la superficie y que la cantidad de jabón disminuya, logrando obtener una tensión superficial.

Las formas que adquieren no son caprichosas, responden a las fuerzas que se ejercen sobre la película de jabóncomo el aire, al soplar la dilatación del material produce que se estire y se contraiga agrandando y disminuyendo el área de la lámina de jabón hasta que se detiene en una posición de equilibrio. En realidad, todo sistema físico intenta alcanzar un estado de energía mínima alcanzando el estado de equilibrio, estamos en presencia de una superficie estructural que alguna vez la lámina de jabón estuvo en una posición de equilibrio en la cual obtendrán una superficie mínima, pasa si las partículas o burbujas de jabón son las que minimizan el área manteniendo constante el volumen de aire que encierra la única pompa en equilibrio es la esfera, por eso las burbujas tiene esa forma.

En la indagación de las superficies mínimas podemos encontrar dos tipos ellas:

Superficies mínimas de género cero: estas superficies son denominadas de genero cero porque es homeomorfa(función de un espacio topológico a otro) a plano abierto y su superficie es simple o plana.
Superficies triplemente periódicas: este tipo de superficie mínima es más compleja ya que puede ser vista como una superficie que repite un patrón de simetría partiendo del cubo.

En conclusión, las superficies mínimas pueden puntualizar de diversas maneras, el hecho de que son equivalentes sirve para demostrar como mínimo la teoría de superficies qué se encuentra en el cruce de varias disciplinas matemáticas, especialmente la geometría diferencial, cálculo de variaciones, la teoría del potencial, el análisis complejo en física y matemáticas

Geometría de burbujas y para que se ha usado

El objetivo de la geometría de burbujas o pompas de jabón es el de ayudar al diseño de estructuras físicas en donde se utilice la menor área por construir contribuyendo a la economía de materiales y tiempo. Las pompas o burbujas de jabón de manera científica nos ayudan a comprender como usar superficies mínimas formando ángulos de 120º cada vez que se interceptan, este ángulo es el que ayuda a que las pompas de jabón no se rompan, en el contexto cotidiano la geometría se puede utilizar como fuente de inspiración en el diseño artístico, como también el diseño en arquitectura para hacer enramados y revestimientos incluso chimeneas que ayuden a saber el diseño que utilice la menor cantidad de materiales y espacio. Se afirma que “En el siglo XIX, Joseph A. Plateau (1801-1883) realizó experimentos simples y divertidos que consistían en hacer pompas de jabón y mojar marcos de alambre en una disolución jabonosa. Estos experimentos permitieron a Plateau percatarse de que las películas de jabón obedecen a un principio muy simple: hacer mínima su área ya que serán las más estables pues su energía potencial es mínima. Afirmaba, también, que la tensión superficial era, en parte, la causante de los resultados de sus experimentos. Decía que la formación de una superficie de jabón exige energía y que, en consecuencia, la superficie tiende a contraerse para minimizar dicha energía. Es decir, la pompa de jabón como la naturaleza en sí busca hacer la menor fuerza posible y eso lo consigue con la forma esférica”.

Aplicación

En la topografía se puede utilizar para conseguir estructuras de canalizaciones que me permiten hacer la construcción de carreteras y la canalización de tubería de fibra óptica entre otras, la geometría de burbujas nos sirve para hacer más vistosa las matemáticas que nos permite abrir la puerta a las cuatro dimensiones, con las cuales podemos comenzar a definir cada una de las figuras desde su forma básica hasta la tridimensional mostrando la estructura más económica de construir.

HIPÓTESIS

Plateu realizó diferentes experimentos con pompas de jabón para poder dar solución a algunas superficies mínimas. Una de las observaciones que hizo y ha sido de gran importancia para las matemáticas, es la que corresponde a que, si introducimos una estructura cerrada en una disolución jabonosa, se forma siempre una película jabonosa. ¿Será que sobre cualquier curva cerrada se puede tener una superficie mínima?

METODOLOGÍA

La indagación sobre el uso de la geometría de burbujas para la enseñanza de las matemáticas ha sido realizó a través de un rastreo por varios documentos de universidades y páginas científicas de diferentes países que ofrecieran algún tipo de información sobre el uso del jabón en matemáticas, licenciatura en matemáticas u otras carreras afines con estas. Previamente en los puntos a tratar en el trabajo han sido repartidos entre los integrantes del grupo, fijando una especie de calendario con pautas y fechas límites para la elaboración y entrega de cada uno de los apartados. A lo largo de la investigación hemos encontrado algunas dificultades debido a la escasez de información o la poca claridad que se muestra de la misma, en otros casos el vocabulario técnico y científiconos ha dificultado en varias ocasiones la redacción de algún punto, lo que ha generado que tengamos que comparar aún más la información en diferentes fuentes. Una vez que recopilamos la información procedimos a compararla y ha organizarla intentando que esta fuera lo más variada y clara posible.

A continuación, explicaremos de forma más detallada el proceso seguido para llevar a cabo la investigación:

Significado de cada variante.

A lo largo del trabajo observamos que teníamos que investigar sobre tres aspectos:

a) La tensión superficial y la molécula de jabón.
b) La forma esférica de las pompas y las superficies mínimas.
c) Los problemas de minimizar recorridos.

Estas cuestiones han quedado ya explicadas en apartados anteriores (fundamentos teóricos e hipótesis)además de realizar diferentes prácticas donde pueden observarse con claridad estos significados.

Experimentos por tratar: Estudiaremos con detalle la realización de varios experimentos, todos ellos figuras geométricas y planchas de metacrilato que nos permitirán observar plenamente la relación que existe entre el jabón y las matemáticas y como ellas solas son capaces de realizar verdaderas obras de arte, entre estos experimentos encontramos una luna, una plancha, un triángulo, un octaedro y una espiral.

Construcción de los experimentos: Los materiales utilizados para realizar todos los experimentos han sido:

-Disolución jabonosa (50% agua, 40% jabón y 10% glicerina)
-Curvas cerradas realizadas con alambre.
-Armazones poliédricos formados con alambre.
-Armazones formados por dos láminas de metacrilato transparentes unidas mediante pequeños fragmentos de silicona.
-Recipiente para líquidos.
-Hilo.
-Pistola de silicona.
-Alicates

Cada experimento lleva una realización distinta; en el caso de las figuras geométricas hemos ido amoldando el alambre hasta conseguir la estructura deseada, en algunos experimentos ha sido necesario cortar fragmentos de alambre y posteriormente unirlos mediante silicona para poder obtener figuras tridimensionales. En el caso de las planchas ha sido más sencillo de elaborar ya que únicamente hemos tenido que unir ambas láminas utilizando un pequeño fragmento de silicona. No obstante, estudiaremos con detalle la elaboración de cada experimento a lo largo que vaya avanzando en la lectura.

Observaciones

Los materiales son fáciles de construir y la propia construcción de las estructuras y la preparación de la mezcla pueden incorporarse a la dinámica docente.
Puede ser un punto de encuentro interdisciplinar: Matemáticas, Física, Tecnología, Educación Visual y Plástica, etc.
Se trata de un campo abierto a la imaginación y la creatividad de cada uno.

PRÁCTICA 1: LUNA

Materiales necesarios:

-Alambre.
-Hilo.
-Disolución jabonosa (agua, glicerina, jabón).

Procedimiento

Damos al alambre forma semicircular.

A continuación, juntamos con un hilo a cada extremo del alambre con ayuda de la silicona.

Observación y resultados Podemos observar como el agua tiende a buscar la mínima superficie, como era de esperar en la hipótesis inicial, por mucho que estiremos la cuerda esta volverá a su lugar debido a la tensión que ejerce el jabón sobre ella.

Conclusión y explicación teórica

A partir de este experimento podemos afirmar que esta es una buena manera de representar como el agua siempre tiende a minimizar al máximo el área de la figura que hemos sumergido en la disolución, llegando a aplicar fuerzas de resistencia para que esta superficie no varíe.

PRÁCTICA 2: PLACAS

Materiales necesarios:

Disolución jabonosa (50% agua, 40% de detergente y 10% de glicerina pura). Para hacer burbujas más grandes y duraderas es necesario usar más glicerina. La espuma y las burbujas que se forman en el líquido deben quitarse con un colador. Las burbujas de jabón al romperse van dejando caer agua jabonosa que puede manchar muebles, etc., por lo que es preferible hacerlas al aire libre en un lugar protegido del viento y cuanta más humedad haya en el ambiente, mejor.
Estructuras planas compuestas por dos placas cuadradas paralelas de plástico transparente, cristal o metacrilato, unidas por varios fragmentos de silicona (con los que formaremos distintos polígonos) que las mantendrán separadas unos 2 o 3 cm, aproximadamente
Un barreño o recipiente para verter nuestra disolución jabonosa e introducir nuestra estructura para posteriormente realizar su estudio.

Procedimiento:

Con dos placas de metacrilato superponemos una encima de la otra, de tal manera que ambas queden paralelas, a continuación, las unimos mediante fragmentos de silicona, alambre o algún objeto vertical que nos permita mantener una placa encima de la otra, colocando este objeto de tal manera que cree un corte perpendicular entre las dos placas.

La posición de los fragmentos de silicona varía según la práctica que se vaya a realizar, por los resultados serán diferentes para cada práctica. Por último, sumergimos la construcción dentro de un barreño con la disolución jabonosa y estudiamos como el jabón actúa sobre esta.

Práctica 1

Observación y resultados

Podemos observar como el jabón se adhiere a la superficie de la placa que más le beneficia, dejando gran parte del volumen sin ocupar, de tal manera que el jabón va buscando la mínima superficie posible para unir ambos puntos y poco a poco va eliminando aquellos restos de agua y jabón sobrantes.

Conclusión, explicación teórica

Entre 2 puntos el camino más corto es la línea recta que los une. Si sumergimos en una solución jabonosa dos placas de metacrilato paralelas unidas por dos tornillos, al sacar las placas se forma una película rectangular de jabón entre los tornillos y las placas cuya superficie es la mínima posible. Si la separación de las placas es constante esto nos da también la mínima distancia entre los dos tornillos. La proyección de la película rectangular de jabón sobre una de las placas es precisamente el segmento que une los 2 tornillos, es decir, el agua con jabón encontró la distancia mínima entre 2 puntos.

¿Qué es el punto de Fermat?

Dibujamos un triángulo ABC en el que el ángulo mayor sea menor de 120º. Sobre cada uno de los lados del triángulo dibujamos un triángulo equilátero. Unimos mediante segmentos cada vértice del triángulo ABC con el vértice opuesto del triángulo equilátero construido sobre su lado opuesto. El punto P donde se cortan los tres segmentos es el punto de Fermat. Si el triángulo ABC de partida es equilátero, el punto de Fermat coincide con el Baricentro (punto donde se cortan las medianas).

Si el ángulo mayor del triángulo fuera de 120º, el punto de Fermat se situaría sobre su vértice, y si el ángulo fuera mayor de 120º el punto de Fermat estaría situado fuera del triángulo en la dirección del ángulo mayor. El punto de Fermat es un punto cuya suma de distancias a los vértices del triángulo es mínima. Los segmentos que unen el punto de Fermat con los vértices del triángulo forman siempre entre sí ángulos de 120º

Práctica 2

¿Qué pasará con una estructura formada por dos placas planas paralelas y transparentes unidas por tres tornillos al sumergirla en una solución jabonosa?

Observación y resultados

Suponiendo que los tres tornillos fueran ciudades y quisiéramos construir una carretera que las uniera, mediante la observación de esta práctica, el jabón va dibujando exactamente la red de carretera que gastaría la menor cantidad de asfalto. Podemos observar a simple vista como el punto que corta ambas rectas indicadas por el jabón, entre todos los puntos que podrían surgir,es la suma de distancias de los tres vértices siendo la mínima posible, además los ángulos entre ellos son iguales, exactamente de 120º

Conclusión, explicación teórica

Al sumergir la estructura en una solución jabonosa y extraerla, observamos que el jabón forma una figura compuesta por tres películas jabonosas rectangulares que unen los tres fragmentos de silicona con las placas de metacrilato y que el ángulo entre las películas jabonosas es de 120º. Si proyectamos esta figura sobre una de las placas o mediante un retroproyector obtendremos una figura plana formada por tres segmentos internos que unen cada vértice con un punto. Este punto cumple la propiedad de que la suma de distancias a los tres vértices es mínima y es el Punto de Fermat. Los tres segmentos que convergen en él forman ángulos de 120º. Si los tres fragmentos de silicona forman un triángulo equilátero, al sumergir las placas se obtienen 3 películas jabonosas rectangulares de la misma longitud.

PRÁCTICA 3: PIRÁMIDE

Materiales utilizados:

-Alambre
-Disolución jabonosa (agua, glicerina, jabón)
-Silicona.

Procedimiento:

Cortamos nueve trozos de alambre con una longitud de 18 cm cada uno a continuación, los uniremos primero de 3 en 3 de forma que creamos triángulos planos, que más tarde uniremos de forma que le daremos una forma tridimensional.

Observaciones y resultados

Como era de esperar y como en casos anteriores observamos como de nuevo dentro del pirámide el jabón tiende a unir todos sus puntos utilizando la mínima superficie posible.

Conclusión, explicación teórica

Obtenemos no solo la superficie de cada uno de los lados del poliedro, sino que además lo que lo obtenemos de forma tridimensional, es decir, obtenemos el volumen mínimo que ocupa este poliedro, junto con las diferentes figuras que se consiguen dependiendo de la manera en que lo introduzcas. Los ángulos que se forman en esta figura son de 120º. Cuando formamos las parábolas creamos una red de tensiones la cual nos va a ayudar en muchos cálculos matemáticos, reduciendo el espacio y materiales ha utilizar en construcciones, de forma que sea más eficiente tanto estructural como económicamente hablando.

PRÁCTICA 4: OCTAEDRO

Materiales utilizados

-Alambre
-Silicona.
-Disolución jabonosa.
-Alicates.
-Barreño para verter la disolución.

Procedimiento

En primer lugar, tomamos el rollo de alambre y con la ayuda de los alicates cortamos fragmentos de 8cm de longitud, una vez tenemos los 24 fragmentos de alambre intentamos enderezarlos lo máximo posible, en el caso de que el alambre haya estado enrollado.

Para unir cada fragmento comenzamos formando 8 triángulos utilizando 3 alambres por triángulo, una vez tengamos todas las figuras construidas las uniremos con ayuda de silicona, poco a poco iremos formando una figura octaédrica tridimensional. Por último, dejamos secar la figura, una vez seca la introducimos en la disolución jabonosa previamente preparada, y estudiamos su comportamiento.

Observación y resultados

Esta figura pueda dar varias formas, en esta ocasión nos ha dado la figura del mimo octaedro, sin embargo, puede emplearse un pequeño truco, si movemos la figura podemos observar un diamante, una rosa de los vientos tridimensional. Podemos observar la mínima superficieque une las dos ciaristasdel octaedro, siendo todos los ángulos de 120º.

Conclusión, explicación teórica

Las burbujas de jabón por lo general tienden a formas circunferencias ya que es más fácil de mantener la tensión superficial de la pompa de jabón que encierra energía que junta los átomos para hacer mínima la superficie de la película de jabón en la figura que estemos trabajando, la pompa de jabón hace mínima el área ocupada teniendo en cuenta el exterior y el perímetro de la figura geométrica que se está estudiando en el momento. Con este tipo de geometría es muy fácil comprender la forma y estructura de los poliedros regulares de 8 caras, triángulos equiláteros que nos permite conectar todas las aristas y todos los vértices que tiene la figura, en el ámbito de las burbujas cuando se juntan y comparten una pared siempre forman un entramado que incluye el volumen más grande, lo interesante es saber qué forma tiene lasburbujas cuando se juntan y comparten dicha pared formando siempre un entramado de figuras geométricas muy interesantes que se sitúan de manera concreta para dar estabilidad a la figura, si todas las burbujas fueran del mismo tamaño el resultado sería hexágonos que nos sugieren panales de abejas, las abejas usan esta propiedad con la cual maximizan el interior de la celdilla y minimizan el perímetro.

PRÁCTICA 9: ESPIRAL

Materiales utilizados

-Alambre
-Hilo
-Silicona
-Disolución jabonosa.

Procedimiento

Con la ayuda de un bote de spray, del tamaño con el que se quiera realizar la estructura, enredamos el alambre de forma que adquiera la posición de espiral. Después uniremos un hilo a cada uno de sus extremos y lo sellaremos con ayuda de la silicona

Conclusión, explicación teórica

Este tipo de experimentos han sido utilizados para encontrar las superficies mínimas más rentables para la formación de escaleras de caracol, entre algunos de sus usos, de forma que ocupara el menos espacio posible, costara menos recursos fabricarla y buscara la armonía para que esta pueda mantener todo su peso. Fue uno de los grandes experimentos que nos aportó unos grandes avances en la arquitectura.

CONCLUSIÓN GENERAL

En general y tras haber realizado los experimentos anteriormente explicados hemos podido comprobar la importancia del jabón dentro de la geometría, además hemos visto con claridad cada una de las cuestiones que habíamos planteado resolver y que posteriormente hemos podido explicar, como la importancia de la tensión superficial o de las superficies mínimas.

Podemos resumir nuestras conclusiones en que:

La tensión superficial es la responsable de la forma esférica de los líquidos.
Una burbuja en el aire siempre es esférica.
Cuando las pompas están libres intersecan perpendicularmente con las superficies que las limitan o las que lo soportan.
Las superficies mínimas son las más estables.
Las películas más estables son las planas, como el ejemplo de las dos planchas, ya que son las que más dificultad presentan a la hora de romperse.
Las películas de jabón que se forman en las estructuras cerradas se colocan de manera que la tensión o fuerza sobre los puntos de la estructura son iguales.
El equilibrio más estable ocurre con ángulos de 120º.
El papel de la glicerina es esencial para que la pompa aguante más y sea más espesa.

Tras estas conclusiones, podemos reflexionar toda esta teoría de una forma más filosófica, y con el tema a tratar del palacio, podemos relacionarlo perfectamente comparando como la complejidad que presenta la pompa con la figura es similar a “El resurgir de un mundo enfermo” en la sociedad. A lo largo del trabajo hemos observado que es esencial que exista complejidad entre los elementos utilizados, en primer lugar se encuentra la disolución, esta se coordina y mezcla perfectamente, cada uno de los elementos que la compone de una manera u otra se complementan, igual ocurre con una persona, cada uno de los elementos que la forma es distinto;experiencias, vivencias, problemas, actitudes… por minúsculo que sea el detalle es esencial para que el proyecto siga adelante, de esta manera poco a poco se llevara a cabo una construcción, llámale experimento, llámale vida.

Cuando la disolución se mezcla esto permite que junto con las estructuras geométricas podamos realizar varias figuras artísticas, aunque como todo siempre surgen problemas, las burbujas de jabón (que se encuentran en la disolución) pueden perjudicar a la figura, por un lado, estéticamente daña la figura, ya que puede dificultar la visión completa de la pompa y, por otro lado, puede romperla debido a su peso. La sociedad en la que actualmente vivimos se genera a partir de elementos muy diversos, cada uno vive en su propia pompa y se enfrenta a aquellos agentes externos que en algún momento dado pueden generar que esta estalle ya sean buenos o malos. Esta pompa se basa en los sentimientos y en las emociones que, al igual que la misma, son frágiles y en muchas ocasiones no están preparados para afrontar situaciones nuevas como recientemente hemos visto con la pandemia que ha dejado un mundo enfermo y con emociones a flor de piel.

La sociedad necesita el apoyo de los individuos que la componen para llegar a construirse, la pompa necesita que todos sus elementos la apoyen ¿no parece que seamos tan diferentes, ¿verdad?

Al igual que una persona, las pompas (como hemos podido observar anteriormente) varían dependiendo de la perspectiva en la que te sitúes, quizá la clave está en no fijarnos en la primera impresión de las cosas y tomar ejemplo de las pompas, puede que si miramos de otra perspectiva o si dejamos que alguien entre en ella para poder ayudarnos, seamos capaces de ver más halla y así no caer en el mundo enfermo en el que vivimos, permitiéndonos resurgir para poder amoldar nuestra propia pompa con los materiales, formas y direcciones que nos hagan sentir que podemos volar más alto.